미적분

수열의 극한

수열의 수렴과 발산

Definition 1 (수열의 수렴) 수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_n\) 이 한없이 커질때, \(a_n\) 의 값이 일정한 값 \(\alpha\) 에 한없이 가까워지면 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(\alpha\) 에 수렴한다고 한다. 이때 \(\alpha\) 를 수열 \(\{a_n\}\) 의 극한값 또는 극한이라 하고, 이것을 기호로 \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha \] 또는 \[ n \rightarrow \infty \Rightarrow a_n \rightarrow \alpha \] 와 같이 나타낸다.

Definition 2 (수열의 발산) 수열 \(\{a_n\}\) 이 수렴하지 않을 때, 이 수열은 발산한다고 한다.

Remark (remark-수열의 발산). 수열 \(\{a_n\}\) 이 발산하는 경우는 아래의 3가지 경우로 나눌 수 있다.

1. 양의 무한대로 발산

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \ \text{ 또는 } n \rightarrow \infty \Rightarrow a_n \rightarrow \infty \]

1. 음의 무한대로 발산

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \ \text{ 또는 } n \rightarrow \infty \Rightarrow a_n \rightarrow -\infty \]

1. 진동

   수열 \(\{a_n\}\) 이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않으면 수열 \(\{a_n\}\) 은 진동한다고 한다.

수열의 극한에 대한 기본 성질

Theorem 1 (수열의 극한에 대한 기본 정리) 두 수열 \(\{a_n\}\), \(\{a_n\}\) 이 수렴하고 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha\), \(\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \beta\) (\(\alpha , \beta\) 는 실수) 일 때, 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) &= \lim_{n \to \infty}a_n + \lim_{n \to \infty}b_n \\ \lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) &= \lim_{n \to \infty}a_n - \lim_{n \to \infty}b_n \\ \lim_{n \to \infty}(c \cdot a_n) &= c \cdot \lim_{n \to \infty}a_n \ where\ c\ is\ constant \\ \lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n) &= \lim_{n \to \infty}a_n \cdot \lim_{n \to \infty}b_n \\ \lim_{n \to \infty}(a_n / b_n) &= \lim_{n \to \infty}a_n / \lim_{n \to \infty}b_n \ where\ b_n \neq 0 \wedge \lim_{n \to \infty}b_n \neq 0 \end{aligned} \]

수열의 극한값의 계산

수열의 극한값의 대소 관계

Theorem 2 (수열의극한의대소관계) \(\{a_n\}\) , \(\{b_n\}\) , \(\{c_n\}\) 이 각각 수열이다. 두 수열 \(\{a_n\}\) , \(\{a_n\}\) 이 수렴하고 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha\) , \(\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \beta\) (\(\alpha , \beta\) 는 실수)일 때, 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} (\forall n \in \mathbb{N}) &(a_n \le b_n \rightarrow \alpha \le \beta ) \\ (\forall n \in \mathbb{N}) &(a_n \le c_n \le b_n \wedge \alpha = \beta \rightarrow \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha ) \end{aligned} \]

등비수열의극한

Theorem 3 (등비수열의 수렴과 발산) 초항은 \(1\) , 공비는 \(r\), 즉 일반항이 \(a_n = r^{n-1}\) 인 등비수열 \(\{a_n\}\) 은 공비 \(r\) 의 값의 범위에 따라 수렴 또는 발산한다. \[ \begin{aligned} r > 1 &\rightarrow \lim_{n \to \infty}r^n = \infty \\ r = 1 &\rightarrow \lim_{n \to \infty}r^n = 1 \\ |r| < 1 &\rightarrow \lim_{n \to \infty}r^n = 0 \\ r \le -1 &\rightarrow \lim_{n \to \infty}r^n \text{ 은 진동 i.e. 발산} \end{aligned} \]

Theorem 4 (등비수열의 수렴 조건) 초항은 \(a\) , 공비는 \(r\) , 즉 일반항이 \(a_n = ar^{n-1}\) 인 등비수열 \(\{a_n\}\) 의 수렴 조건은 다음과 같다. \[ (a=0) \vee (-1<r \le 1) \]

급수의 수렴과 발산

급수와 수열의 극한 사이의 관계

등비급수

급수의성질

함수의 극한과 연속

함수의 극한

함수의 수렴과 발산

우극한과 좌극한

함수의 극한에 대한 성질

함수의 극한의 응용

Definition 3 (the limit of a function) \(f : D \rightarrow \mathbb{R}\) be a function defined on a subset \(D \subseteq \mathbb{R}\) , let \(a\) be a limit point of \(D\) , and let \(L\) be a real number. Then the function \(f\) has a limit \(L\) at \(a\) is defined to mean for all \(\varepsilon > 0\) , there exists a \(\delta > 0\) such that for all \(x\) in \(D\) that satisfy \(0 < | x - a | < \delta\) , the inequality \(|f(x) - L| < \varepsilon\) holds.

Symbolically: \[ \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \iff (\forall x \in D) (\forall \varepsilon > 0)(\exists \ \delta > 0) (0 < |x - a | < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \varepsilon) \]

Definition 4 (One-sided limit, right-sided limit) \[ \lim\limits_{x\to a^+}f(x) \iff (\forall x \in D) (\forall \varepsilon > 0)(\exists \ \delta > 0) (0 < x - a < \delta \Rightarrow |f(x) - L|<\varepsilon) \]

Definition 5 (One-sided limit, left-sided limit) \[ \lim\limits_{x\to a^-}f(x) \iff (\forall x \in D) (\forall \varepsilon > 0)(\exists \ \delta > 0) (0 < a - x < \delta \Rightarrow |f(x) - L|<\varepsilon) \]

Theorem 5 (함수의 극한에 대한 정리) \(\lim\limits_{x \to p}f(x)\) 와 \(\lim\limits_{x \to p}g(x)\) 가 수렴할 때, \[ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to p}(f(x) + g(x)) &= \lim\limits_{x \to p}f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) \\ \lim\limits_{x \to p}(f(x) - g(x)) &= \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) \\ \lim\limits_{x \to p}(f(x)\cdot g(x)) &= \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) \\ \lim\limits_{x \to p}(f(x)/g(x)) &= {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)} \ where\ \lim\limits_{x \to p} g(x) \neq 0 \end{aligned} \]

Theorem 6 (미정계수의 결정) \(\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = L\) ( \(L\) 은 상수) 일 때,

\[ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to a}f(x) = 0 \wedge L \neq 0 &\Rightarrow \lim\limits_{x \to a}g(x) = 0 \\ \lim\limits_{x \to a}g(x) = 0 &\Rightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = 0 \end{aligned} \tag{1}\]

이것은 referencing Equation 1 테스트 입니다.

함수의 연속

Definition 6 (Continuity) A function \(f\) is said to be continuous at \(c\) if it is both defined at \(c\) and its value at \(c\) equals the limit of \(f\) as \(x\) approaches \(c\). \[ \lim_{x\to c} f(x) = f(c) \]

연속함수

Theorem 7 (연속함수의 성질) 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\) 가 \(x=c\) 에서 연속이면 다음 함수도 모두 \(x=c\) 에서 연속이다.

1. \(kf(x)\) , 단 \(k\) 는 상수

2. \(f(x) \pm g(x)\)

3. \(f(x)g(x)\)

4. \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) , 단 \(g(x) \neq 0\)

Theorem 8 (EVT : The Maximum Minimum Theorem) \[ f \in C^0([a,b], \mathbb{R}) \Rightarrow (\forall x \in [a,b])(\exists c \in [a,b])(\exists d \in [a,b])( f(c) \geq f(x) \wedge f(d) \leq f(x) ) \]

Theorem 9 (EVT : 최대·최소 정리) 함수 \(f(x)\) 가 닫힌구간 \([a, b]\) 에서 연속이면 \(f(x)\) 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

사잇값 정리

Theorem 10 (IVT : The intermediate value theorem) \[ f \in C^0([a,b], \mathbb{R} ) \wedge f(a) \neq f(b) \Rightarrow ( \forall k \in (|f(a),f(b)|) ) ( \exists c \in (a,b) )( f(c)=k ) \]

Theorem 11 (사잇값정리) 함수 \(f(x)\) 가 닫힌구간 \([a, b]\) 에서 연속이고, \(f(a) \neq f(b)\) 이면 \(f(a)\) 와 \(f(b)\) 사이의 임의의 실수 \(k\) 에 대하여 \(f(c)=k\) 인 \(c\) 가 열린 구간 \((a,b)\) 에 적어도 하나 존재한다.

Corollary 1 (Bolzano’s theorem) \[ (f \in C^0([a,b], \mathbb{R}) \wedge\ ( f(a)f(b)<0 ) )\Rightarrow (\exists c \in (a,b) ) ( f(c)=0 ) \]

Corollary 2 (사잇값 정리의 활용) 함수 \(f(x)\) 가 닫힌구간 \([a, b]\) 에서 연속이고, \(f(a)f(b) < 0\) 이면 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린 구간 \((a,b)\) 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

미분

미분계수와 도함수

평균변화율과 미분계수

Definition 7 (증분) 함수 \(y=f(x)\) 에서 \(x\) 의 값이 \(a\) 에서 \(b\) 까지 변할 때, \(y\) 의 값은 \(f(a)\) 에서 \(f(b)\) 까지 변한다. 이 때 \(x\) 의 값의 변화량 \(b-a\) 를 \(x\) 의 증분, \(y\) 의 값의 변화량 \(f(b)-f(a)\) 를 \(y\) 의 증분이라 하고, 기호로 각각 \(\Delta x\) , \(\Delta y\) 와 같이 나타낸다. 즉, \[ \Delta x = b-a \] \[ \Delta y = f(b)-f(a) = f(a + \Delta x) - f(a) \]

Definition 8 (평균변화율(ARC or MV) : Average Rate of Change) \[ ARC(f,a,b) = MV(f,a,b) = \dfrac{ \Delta y }{ \Delta x } = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = \dfrac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} \]

Definition 9 (\(x=a\) 에서의 미분계수, 순간변화율, IRC¹) \[ IRC(f,a) = f'(a) = \lim_{ \Delta x \to 0} \dfrac{f(a + \Delta x ) - f(a)}{ \Delta x } = \lim_{ x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{ x-a } \]

\[ IRC(f,a) = f'(a) = \lim_{ \Delta x \to 0} ARC(f,a, a + \Delta x) \]

Definition 10 (미분가능한함수) 함수 \(y=f(x)\) 가 어떤 구간에 속하는 모든 \(x\) 에서 미분가능하면 함수 \(y=f(x)\) 는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

특히 함수 \(y=f(x)\) 가 정의역에 속하는 모든 \(x\) 에서 미분가능하면 함수 \(y=f(x)\) 는 미분가능한 함수라 한다.

Remark (연속 및 미분가능).

• \(f(x) \notin C^0(x=\alpha)\)

  1. \(( f(x)(x-\alpha) \in C^0(x=\alpha) ) \wedge ( f(x) \in C^1(x=\alpha) \vee f(x) \notin C^1(x=\alpha) )\)

  2. \(f(x)(x-\alpha)(x-\alpha) \in C^1(x=\alpha)\)

• \(f(x) \notin C^1(x=\alpha)\)

  1. \(f(x) \in C^0(x=\alpha) \vee f(x) \notin C^0(x=\alpha)\)

  2. \(f(x)(x-\alpha)(x-\alpha) \in C^1(x=\alpha)\)

미분계수의 기하학적 의미

Remark (미분계수). \(f'(a)\) 는 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(a, f(a))\) 에서의 접선의 기울기와 같다.

미분가능성과 연속성

도함수와 미분법

Definition 11 (도함수-a derived function) 미분가능한 함수 \(y=f(x)\) 의 정의역의 각 원소 \(x\) 에 미분계수 \(f'(x)\) 를 대응시키면 새로운 함수 \[ f': X \rightarrow \mathbb{R}, f'(x)= \lim_{ \Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \] 를 얻는다. 이 때 이 함수 \(f'(x)\) 를 함수 \(f(x)\) 의 도함수라 하고, 이것을 기호로 \[ f'(x), y', \dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d}{dx}f(x) \] 로 나타낸다.

Definition 12 (미분법) 함수 \(y=f(x)\) 에서 도함수 \(f'(x)\) 를 구하는 것을 함수 \(y=f(x)\) 를 \(x\) 에 대하여 미분한다고 하고, 그 계산법을 미분법이라 한다.

Theorem 12 (함수 \(y = x^n\) (n은 양의 정수)과 상수함수의 도함수)  

1. \(y=x^n\) ( \(n \in \mathbf{N}\) )이면 \(y'= nx^{n-1}\)

2. \(y=c\) (c는 상수)이면 \(y'=0\)

Theorem 13 (함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법) 세 함수 f(x), g(x), h(x)가 미분가능할 때

1. \(\{kf(x)\}' = kf'(x)\) (단, k는 상수)

2. \(\{f(x) + g(x)\}'=f'(x) + g'(x)\)

3. \(\{f(x) - g(x)\}'=f'(x) - g'(x)\)

4. \(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)

5. \(\{f(x)g(x)h(x)\}' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)\)

6. \([\{f(x)\}^n]' = n \{f(x)\}^{n-1} f'(x)\) (단, n은 양의 정수)

Theorem 14 (미분과나머지정리의관계)  

1. 이차 이상의 다항식 \(f(x)\) 에서

\[ Mod(f(x),(x-a)^2) = f'(a)(x-a) + f(a) \tag{2}\]

1. 이차 이상의 다항식 \(f(x)\) 에서

\[ Mod(f(x),(x-a)^2) = 0 \iff f(a)=0, f'(a)=0 \tag{3}\]

Proof. Equation 2 의 경우

다항식 \(f(x)\) 를 \((x-a)^2\) 으로 나누었을 때의 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(mx+n\) 이라 하면 \[ f(x)=(x-a)^2Q(x)+mx+n \tag{4}\] Equation 4 의 양변을 \(x\) 에 대하여 미분하면 \[ f'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^2Q'(x)+m \tag{5}\] Equation 4 에 \(x=a\) 를 대입하면 \(f(a)=ma+n, \text{ 즉 } n=f(a)-ma\) \(f'(a)=m\) \(\eqref{eq:3},\ \eqref{eq:7}\) 에서 $mx+n=f’(a)x+f(a)-af’(a)=f’(a)(x-a)+f(a) $

1. 의 경우

나누어 떨어지면 \(mx+n=0\) , 즉 \(m=0\) , \(n=0\) 이 되어야 하므로 (3), (4)에서 \(f(a)=0\) , \(f'(a)=0\)

Theorem 15 (기타)  

• \((even\ function)'= (odd\ function)\) : 미분 정의대로 하면 증명은 쉽다.

  

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Remark (역함수 미분법 참고).

• 역함수미분법

Theorem 16 (역함수의 미분법 - hakchin notation 1) 미분가능한 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(f^{-1}(x) = g(x)\) 가 존재하고 미분가능할 때, \(x=f^{-1}(y)=g(y)\) 의 도함수는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} g'(y) \cdot f'(x) &= 1\\ g'(x) \cdot f'(y) &= 1 \end{aligned} \]

Proof. \[ \begin{aligned} g(f(x))=x &\Rightarrow (g(f(x)))'=(x)' \\ &\Rightarrow g'(f(x)) \cdot f'(x)=1\ (where\ f'(x) \neq 0) \end{aligned} \]

Theorem 17 (역함수의 미분법 - hakchin notation2) 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 \(f^{-1}(x) = g(x)\) 가 존재하고 미분가능할 때, \(y=f^{-1}(x)\) 의 도함수는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x)& = 1\ (where\ f'(f^{-1}(x)) \neq 0)\\ f'(y) \cdot (f^{-1})'(x)& = 1\ (where\ f'(f^{-1}(x)) \neq 0)\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} g'(y) \cdot f'(x)& = 1\\ g'(x) \cdot f'(y)& = 1 \end{aligned} \]

Proof. \[ \begin{aligned} f(f^{-1}(x))=x &\Rightarrow (f(f^{-1}(x)))'=(x)' \\ &\Rightarrow f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x)=1\ (where\ f'(f^{-1}(x)) \neq 0) \end{aligned} \]

Theorem 18 (역함수의미분법) 미분가능한 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(f^{-1}(x)\) 가 존재하고 미분가능할 때, \(y=f^{-1}(x)\) 의 도함수는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}\ or \\ (f^{-1})'(x)&=\dfrac{1}{f'(y)}\ (where\ f'(y) \neq 0) \end{aligned} \]

Proof. \[ \begin{aligned} f(f^{-1}(x))=x &\Rightarrow f'(f^{-1}(x))((f^{-1})'(x))=1 \\ &\Rightarrow (f^{-1})'(x)= \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \dfrac{1}{f'()} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} y=f^{-1}(x) &\Rightarrow x=f(y) \\ &\Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = (f^{-1})'(x),\ \dfrac{dx}{dy}=f'(y) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{f'(y)}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}\ (where\ f'(y) \neq 0) \end{aligned} \]

:

• 함수 \(y=f^{-1}(x)\) 에서 \(x=f(y)\) 이고 \(\dfrac{dx}{dy}=f'(y)\) 이다. \(x=f(y)\) 의 양변을 \(x\) 에 대하여 미분하면 \(\dfrac{d}{dx}(x)=\dfrac{d}{dx}(f(y)),\ 1=\dfrac{d}{dy}(f(y)) \cdot \dfrac{dy}{dx}=f'(y) \cdot \dfrac{dy}{dx}\) \(\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{f'(y)}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}\ (where\ f'(y) \neq 0)\) :::

Exercise 1 (역함수의 미분법) 미분가능한 함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) ,\(f(3x-5)\) 의 역함수를 \((x)\) 라 할 때, \(h'(x)\) 를 \(g'(x)\) 로 나타내면?

Solution. \[ g(x)=f^{-1}(x) \Rightarrow f(g(x))=x \]

\[ \begin{aligned} h(x) = (f(3x-5))^{-1} &\Rightarrow f(3x-5)(h(x)) = x \\ &\Rightarrow f(3h(x)-5) = x \end{aligned} \] 이므로 \(g(x)=3h(x)-5\) 이고 이것의 양변을 미분하면 \(g'(x)=3h'(x) \Rightarrow h'(x)=\dfrac{1}{3}g'(x)\)

도함수의 활용

접선의 방정식과 평균값 정리

Theorem 19 (Rolle’s theorem) \[ f \in C^0([a,b]) \wedge f \in C^1((a,b)) \wedge f(a)=f(b) \Rightarrow \exists c \in (a,b) (f'(c)=0) \]

Theorem 20 (Rolle’s theorem ww) If \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) is a continuous function, differentiable on the open interval \((a, b)\) , and \(f(a) = f(b)\) , then there exists at least one c in the open interval \((a, b)\) such that \(f'(c) = 0\)

This version of Rolle’s theorem is used to prove the mean value theorem, of which Rolle’s theorem is indeed a special case. It is also the basis for the proof of Taylor’s theorem.

Theorem 21 (MVT) \[ f \in C^0([a,b], \mathbb{R} ) \wedge f \in C^1((a,b), \mathbb{R}) \Rightarrow \exists c \in (a,b) (f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}) \]

Theorem 22 (MVT-다른표기) \[ f \in C^0([a,b]) \wedge f \in C^1((a,b)) \Rightarrow \exists c \in (a,b) (f'(c)=ARC(f,a,b)=MV(f,a,b) \]

Theorem 23 (평균값 정리(MVT) Let \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) be a continuous function, and differentiable on the open interval \((a,b)\) , where \(a<b\) . Then there exists some \(c\) in \((a,b)\) such that \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Example 1 (이차함수관련) 이차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(\dfrac{a+b}{2})=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

함수의 증가와 감소

Remark (notation idea for increasing). 다음을 참고하였다.

• Shorthand notation for "increases" and"decreases"

Definition 13 (증가함수) \(f \in \ddot{I}(\mathbb{R}) \iff x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)

Definition 14 (감소함수) \(f \in -\ddot{I}(\mathbb{R}) \iff x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)

Definition 15 (증가상태) \(\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta ,\ 0< \delta < \varepsilon \Rightarrow f(a-\delta) < f(a) < f(a+\delta) \iff\) \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 증가상태에 있다고 한다.

Definition 16 (감소상태) \(\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta ,\ 0< \delta < \varepsilon \Rightarrow f(a-\delta) > f(a) > f(a+\delta) \iff\) \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 감소상태에 있다고 한다.

Theorem 24 (함수의증가1) \(f \in C^1( (a,b) ) \wedge (\forall x \in (a,b))(f'(x) > 0) \Rightarrow f \in \ddot{I}((a,b))\)

Theorem 25 (함수의감소1) \(f \in C^1( (a,b) ) \wedge (\forall x \in (a,b))(f'(x) < 0) \Rightarrow f \in -\ddot{I}((a,b))\)

Theorem 26 (함수의 증가2) \(f \in C^1( (a,b) ) \wedge f \text{는 증가상태} \wedge (\forall x \in (a,b))(f'(x) \geq 0) \Rightarrow f \in \ddot{I}((a,b))\)

Theorem 27 (함수의 감소2) \(f \in C^1( (a,b) ) \wedge f \text{는 감소상태} \wedge (\forall x \in (a,b))(f'(x) \leq 0) \Rightarrow f \in -\ddot{I}((a,b))\)

Theorem 28 (함수의증가3) \(f \in C^1( (a,b) ) \wedge f \in \ddot{I}((a,b)) \Rightarrow f'(x) \geq 0\)

Theorem 29 (함수의감소3) \(f \in C^1( \mathbb{I} ) \wedge f \in -\ddot{I}(\mathbb{I}) \Rightarrow f'(x) \leq 0\)

함수의 극대와 극소

Definition 17 (임계점, critical point) \(a \in Dom(f) \wedge a\) is a critical point \(\iff f'(a)=0 \vee f'(a)\) does not exist.

Remark (Extrema & Critical point). 극값을 갖는다 \(\overset O{\underset X\rightleftarrows}\) 임계값을 갖는다.

Definition 18 (극대, local Maximum) 함수 \(f(x)\) 가 \(x = a\) 에서 연속이고 \(x=a\) 의 좌우에서 \(f(x)\) 가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 극대라 하며, \(f(a)\) 를 극댓값이라 한다.

Definition 19 (극대, local Maximum kk) \(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a) \wedge \exists h>0,\ \forall x \in (a-h, a+h),\ f(a) \geq f(x)\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 극대라 하며, \(f(a)\) 를 극댓값이라 한다.

Definition 20 (엄격한 극대, strict local Maximum) \(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a) \wedge \exists h>0,\ \forall x \in (a-h, a+h) - \{a\},\ f(a) > f(x)\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 엄격한 극대라 하며, \(f(a)\) 를 엄격한 극댓값이라 한다.

Definition 21 (엄격한 극대2, strict local Maximum2) \(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a) \wedge \forall h \in \mathbb{R} - \{0\},\ f(a+h) < f(a)\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 엄격한 극대라 하며, \(f(a)\) 를 엄격한 극댓값이라 한다.

Definition 22 (극소, local minimum) 함수 \(f(x)\) 가\(x = a\) 에서 연속이고 \(x=a\) 의 좌우에서 \(f(x)\) 가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 극소라 하며, \(f(a)\) 를 극솟값이라 한다.

Definition 23 (극소, local minimum ee) \(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a) \wedge \exists h>0,\ \forall x \in (a-h, a+h),\ f(a) \leq f(x)\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 극소라 하며, \(f(a)\) 를 극솟값이라 한다.

Definition 24 (엄격한 극소, strict local minimum) \(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a) \wedge \exists h>0,\ \forall x \in (a-h, a+h) - \{a\},\ f(a) < f(x)\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 엄격한 극소라 하며, \(f(a)\) 를 엄격한 극솟값이라 한다.

Definition 25 (엄격한극대2, strict local Maximum2) \(\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a) \wedge \forall h \in \mathbb{R} - \{0\},\ f(a+h) < f(a)\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 엄격한 극대라 하며, \(f(a)\) 를 엄격한 극댓값이라 한다.

Theorem 30 (극값과 미분계수) 함수 \(f(x)\) 가 \(x=a\) 에서 극값을 가지고 \(a\) 를 포함하는 어떤 열림구간에서 미분가능하면 \(f'(a) = 0\) 이다.

Remark. 일반적으로 위의 역은 성립하지 않는다.

Theorem 31 (극대관련) 미분가능한 함수 \(f(x)\) 에서 \(f'(a) = 0\) 이고, \(x= a\) 의 좌우에서 \(f'(x)\) 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 극대이고, 극댓값은 \(f(a)\) 이다. (극댓값이라 하여 항상 \(f'(a) = 0\) 이 되는 것은 아니다. 즉, 미분가능하지 않은 연속함수의 경우)

Theorem 32 (극소관련) 미분가능한 함수 \(f(x)\) 에서 \(f'(a) = 0\) 이고, \(x= a\) 의 좌우에서 \(f'(x)\) 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\) 는 \(x=a\) 에서 극소이고, 극솟값은 \(f(a)\) 이다. (극솟값이라 하여 항상 \(f'(a) = 0\) 이 되는 것은 아니다. 즉, 미분가능하지 않은 연속함수의 경우)

Theorem 33 (\(f(x)\) 가 극값을 갖는 조건) \(f(x)\text{가 극값 갖는다.} \wedge f'(x) \text{가 2차 함수} \Rightarrow f(x)=0 \text{은 서로 다른 2개 이상의 실근을 갖는다.}\)

Remark (상수함수). 어떤 열린 구간에서 극댓값이면서 극솟값이면 해당 구간에서 상수함수이다.

Remark (삼차함수사차함수대칭관계).

• 뉴런 현우진 삼차함수 대칭관계

• 뉴런 현우진 사차함수 대칭관계

• 사차함수 그래프의 대칭성과 1 : \(\sqrt{2}\) 법칙

방정식과 부등식, 속도와 가속도

여러 가지 미분법

아래 위키를 참고하기

• 삼각함수 - <http://rigvedawiki.net/w/삼각함수>

• 삼각함수 육각형 - 제타위키

• 삼각함수 육각형 - 합차를 곱으로, 곱을 합차로

Remark.

• 역함수 미분법

Theorem 34  

1. \(y = \sin{x} \Rightarrow y' = \cos{x}\)

2. \(y = \cos{x} \Rightarrow y' = -\sin{x}\)

3. \(y = \tan{x} \Rightarrow y' = \sec^2{x}\)

4. \(y = \csc{x} \Rightarrow y' = -\csc{x}\cot{x}\)

5. \(y = \sec{x} \Rightarrow y' = \sec{x} \tan{x}\)

6. \(y = \cot{x} \Rightarrow y' = -\csc^2{x}\)

Remark. 삼각함수 6각형을 보고 마음속으로 관련있는 공식들을 상기하여 보자.

image

생각할 수 있는 것들은 일단 아래와 같은 것들이 있다.

• 삼각함수의 역수 관계

• 삼각함수의 제곱합 관계

• 삼각함수의 곱셈 관계

• 삼각함수의 미분 관계

• 쌍곡선함수(Hyperbolic function)의 미분 관계

로그함수의 미분법

Theorem 35 (로그함수의미분법) \[ y=f(x) \Rightarrow \dfrac{y'}{y}=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \]

Proof. \[ \begin{aligned} &\Rightarrow |y|=|f(x)| \\ &\Rightarrow ln|y|=ln|f(x)| \\ &\Rightarrow \dfrac{y'}{y}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\ \text{양변을 }x \text{에 대하여 미분한다} \end{aligned} \]

삼각함수의 미분

개쎈 p572를 latex 으로 여기에 서술해 보기

\[ \begin{aligned} \triangle{ABC} &= 4 \\ \triangle ABC &= 5 \\ \bigtriangleup ABC &= 6 \\ \vartriangle ABC &= 7 \\ \blacktriangle{ABC} &= 8 \end{aligned} \]

Theorem 36 (\(\dfrac{sinx}{x}\) 극한) blah,blah,blah,…

Proof. Insert related imaage later.

\(\triangle{OAP} < \text{Sector}(OAP) < \triangle{OAT}\)

접선의 방정식

Definition 26 곡선 위의 점 P에 대하여 곡선 위를 움직이는 점 Q가 P에 한없이 다가갈 때 직선 PQ가 하나의 직선으로 수렴한다면 그 극한 위치의 직선을 P에서의 접선이라 한다.

함수의 그래프

Definition 27 함수 \(f(x)\) 위에 서로 다른 두 점을 잡았을 때, 두 점 사이의 독립변수에 대한 함수값이 두 점을 이은 선분보다 아래쪽의 값인 함수 즉, \(\forall x_1 \neq x_2, f(\dfrac{x_1+x_2}{2}) < \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)

Definition 28 함수 \(f(x)\) 위에 서로 다른 두 점을 잡았을 때, 두 점 사이의 독립변수에 대한 함수값이 두 점을 이은 선분보다 위쪽의 값인 함수 즉, \(\forall x_1 \neq x_2, f(\dfrac{x_1+x_2}{2}) > \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)

Definition 29 Let \(f(x)\) be a differentiable function on an interval \(I\). We will say that the graph of \(f(x)\) is concave up on I \(\iff f'(x)\) is increasing on I \(\iff f'(x) \text{는 상수함수가 아니고 } \wedge f''(x) \geq 0\) .

Definition 30 Let \(f(x)\) be a differentiable function on an interval$ I$ . We will say that the graph of \(f(x)\) is concave down on I \(\iff f'(x)\) is decreasing on \(I\) \(\iff f'(x) \text{는 상수함수가 아니고 } \wedge f''(x) \leq 0\) .

Theorem 37  

1. \(f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)\) 는 증가함수

2. \(f(x) \text{는 상수함수가 아니고 } \wedge f'(x) \geq 0 \iff f(x)\) 는 증가함수

3. \(f(x)\) 는 증가함수 \(\Rightarrow f'(x) \geq 0\)

5. \(f''(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{는 위로 오목}\)

6. \(f'(x) \text{는 상수함수가 아니고 } \wedge f''(x) \geq 0 \iff (f'(x) \text{는 증가함수} ) \iff f(x) \text{는 위로 오목}\)

7. \(f(x) \text{는 이 구간에서 위로 오목} \Rightarrow f''(x) \geq 0\)

Definition 31 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(a, f(a))\) 에 대하여 \(x=a\) 의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌거나 위로 오목에서 아래로 오목으로 바뀔 때 이 점 \(P\) 를 곡선 \(y=f(x)\) 의 변곡점이라 한다. 따라서 변곡점 \(P(a, f(a))\) 의 좌우에서 \(f''(x)\) 의 부호가 바뀌므로 \(f''(a)\) 가 존재하면 \(f''(a)=0\) 이다.

Theorem 38 함수 \(y=f(x)\) 에 대하여 \(f''(a)=0\) 이고, \(x=a\) 의 좌우에서 \(f''(x)\) 의 부호가 바뀌면 점 \((a, f(a))\) 는 곡선 \(y=f(x)\) 의 변곡점이다. (변곡점이라 하여 항상 \(f''(a) = 0\) 이 되는 것은 아니다. 즉, 미분가능하지 않은 연속함수의 경우)

Remark. If a function has a second derivative, the value of the second derivative is either 0 or undefined at each of that function’s inflection points.

적분

부정적분

Definition 32 (부정적분1) 미분하여 \(f(x)\) 가 되는 함수를 \(f(x)\) 의 부정적분 또는 원시함수라고 한다. 이 함수를 기호로 \[ \int{f(x)dx} \] 로 나타낸다. 즉, \[ \dfrac{d}{dx}\int{f(x)dx} = f(x) \] 이다. 함수 \(f(x)\) 의 부정적분은 하나로 정해지지 않는다. 이 때, \(f(x)\) 의 알려진 부정적분중의 하나가 \(f(x)\) 라면, \(f(x)\) 의 임의의 부정적분은 \(f(x) + C\) 의 꼴로 나타내어지며, \[ \int{f(x)dx}=F(x)+C\ (where\ C\ is\ a\ constant) \] 이다. 여기에서 \(\int\) 를 integral symbol, \(c\) 를 적분상수(the constant of integration), 함수 \(f(x)\) 를 피적분함수(the integrand), \(x\) 를 적분변수(the integration variable)라 하고, \(f(x)\) 의 부정적분을 구하는 것을 \(f(x)\) 를 적분한다라고 한다.

Theorem 39 (부정적분표현) \[ (F(x))' = f(x) \Rightarrow \int{f(x)} = F(x) + C \]

Proof. \[ \begin{aligned} &(\int{f(x)dx} - F(x))' = f(x) - f(x) = 0 \\ &\Rightarrow \int{f(x)dx} - F(x) = C \\ &\Rightarrow \int{f(x)dx} = F(x) C \end{aligned} \]

Theorem 40 (함수의 실수배, 합, 차의 부정적분) 두 함수 \(f(x), g(x)\) 가 부정적분을 가질 때

1. \(\int{kf(x)dx} = k\int{f(x)dx}\) (단, k는 0이 아닌 상수)

2. \(\int{\{f(x) \pm g(x)\}dx} = \int{f(x)dx} \pm \int{g(x)dx}\)

Reference Sites

• 삼각함수적분-COS편

정적분

Definition 33 (정적분 dd) \[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta_x\ (where\ \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, x_k = a + \Delta x \cdot k ) \]

Theorem 41 (급수와 정적분의 관계) \[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f(a+\dfrac{pk}{n}) \cdot \dfrac{q}{n} = q\int_{0}^{1} f(a+px)dx = \dfrac{q}{p} \int_{0}^{p} f(a+x)dx \]

Proof.

• You can use Definition of definite integral 과 평행이동 or \(\dfrac{pk}{n} = x\) and \(\dfrac{p}{n} = dx\) . 이 때 위 끝은 k 대신에 n을 대입하고 \(\infty\) 하면 p 이고 아래 끝은 k 대신에 1을 대입하고 \(\infty\) 하면 0 이 된다.

Proof.

• 다른 관점으로 생각해 본다면, \(\dfrac{pk}{n} = x_k\) and \(\dfrac{p}{n} = \Delta x\) 라고 생각해도 되겠다. 그리고 정적분의 정의를 잘 생각해 본다.

Remark (급수와정적분의관계). \[ \begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x)dx &= \int_{0}^{b-a} f(x+a)dx \\ &= (b-a)\int_{0}^{1} f((b-a)x+a)dx \end{aligned} \]

Theorem 42 (부분적분법) \[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx \]

Proof. 어쩌구 저쩌구

Remark (tabular integration). tabular integration 이라는 방법을 쓰면 좀 쉽게 할 수 있다. youtube 자료로는 https://youtu.be/E8N1E5ZAiIU 찾아볼 수 있다.

Example 2 (부분적분법 dd) 미분가능한 두 함수 \(f(x)\) ,\(g(x)\) 가 구간 \([a,b]\) 에서 \(f'(x) = \dfrac{1}{4}g(x)\) 를 만족할 때, 다음 중 정적분 \(\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx\) 와 같은 것은?

Solution. \(2[\{f(b)\}^2 - \{f(a)\}^2]\)

Remark (삼차함수넓이적분).

• 다항함수 넓이 공식

• 삼차함수의 넓이

• \(\int_{ \alpha }^{ \beta } a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)dx = \dfrac{a}{6}( \beta - \alpha )^3( \gamma - \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } )\)

정적분의 활용

속도와 거리

Remark (위치·속도·가속도의관계). 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도를 구할 수 있고, 미분과 적분은 서로 역연 산의 관계이므로 다음이 성립한다.

image

Theorem 43 (속도와거리) 수직선 위를 움직이는 점 \(P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치를 \(l=l(t)\) 라 하면, 그 때의 속도는 \(v(t)=\dfrac{dl}{dt}=l'(t)\) 이다.

1. 점 \(P\) 의 위치 (시각 \(t\) )

2. \(l(t) = l(t_0)(=l_0) + \int_{t_0}^{t} v(x)dx\)

3. 점 \(P\) 의 위치의 변화량 (\(t=a \rightarrow t=b\))

4. \(l(b) - l(a) = \int_{a}^{b} v(t)dt\)

5. 점 \(P\) 의 실제로 움직인 거리 (\(t=a \rightarrow t=b\))

6. \(s = \int_{a}^{b} |v(t)|dt\)

Footnotes

1. Instantaneous Rate of Change