공통수학

다항식(Polynomial)

다항식의 연산

다항식의 덧셈과 뺄셈

Definition 1 (단항식)  

  1. 수와 문자의 곱으로 이루어진 식을 단항식이라 한다.

  2. 단항식에서 특정 문자에 대하여 곱해진 문자의 개수를 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 부분을 계수라 한다.

Definition 2 (다항식)  

  1. 한 개 이상의 단항식의 합으로 이루어진 식을 다항식이라 하고, 다항식을 이루고 있는 각각의 단항식을 항이라 한다.

  2. 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수를 다항식의 차수라 한다.

  3. 특정 문자를 포함하지 않는 항을 상수항, 특정 문자에 대하여 차수가 같은 항을 동류항이라 한다.

Definition 3 (다항식에 대한 용어)  

  1. 항: 다항식에 포함된 각각의 단항식

  2. 계수: 항에서 특정 문자를 제외한 나머지 부분

  3. 항의 차수: 항에서 특정 문자가 곱해진 개수

  4. 다항식의 차수: 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수

  5. 상수항: 문자없이 수만으로 이루어진 항

  6. 동류항: 문자와 차수가 같은 항

다항식에 대한 용어
Figure 1: 다항식에 대한 용어

See Figure 1 for an illustration.

Definition 4 (다항식의정리)  

  1. 내림차순: 특정 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것

  2. 오름차순: 특정 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것

Example 1 (다항식 \(2xy + 3x^2 − y^2 + 4x + 1\))  

  • x에 대하여 내림차순으로 정리\(\Rightarrow 3x^2+(2y+4)x-y^2+1\)

  • x에 대하여 오름차순으로 정리\(\Rightarrow -y^2+1+(2y+4)x+3x^2\)

Definition 5 (다항식의 덧셈과 뺄셈)  

  1. 다항식의 덧셈: 두 다항식 \(A, B\) 에 대하여 \(A+B\) 는 동류항끼리 모은 후, 계수를 더하여 간단히 정리한 식이다.

  2. 다항식의 뺄셈: 두 다항식 \(A, B\) 에 대하여 \(A−B\) 는 다항식 \(A\) 에 다항식 \(B\) 의 각 항의 부호를 바꾼 \(−B\) 를 더한 식이다.

Remark (다항식의덧셈과뺄셈). 다항식의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같은 순서로 한다.

\[ \begin{aligned} &(x^2-3x+2)-(4x^2-x+5) \\ = &x^2-3x+2-4x^2+x-5 &\dashleftarrow (1) \\ = &x^2-4x-3x+x+2-5 &\dashleftarrow (2) \\ = &-3x^2-2x-3 &\dashleftarrow (3) \end{aligned} \]

  1. 괄호가 있는 경우 괄호를 푼다.

  2. 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

  3. 동류항끼리 모아서 계산한다.

Theorem 1 (다항식의 덧셈에 대한 성질) 세 다항식 A, B, C에 대하여

  1. 교환법칙: A+B=B+A

  2. 결합법칙: \((A+B)+C=A+(B+C) \dashleftarrow\) 괄호를 생략하여 \(A+B+C\) 로 나타내기도 한다.

다항식의 곱셈

Definition 6 (다항식의 곱셈) 두 다항식 \(A, B\) 에 대하여 \(AB\) 는 분배법칙과 지수법칙을 이용하여 전개하고, 동류항끼리 모아 정리한 식이다.

Theorem 2 (지수 법칙) \(a, b\) 는 실수, \(m, n\) 은 자연수일 때, 다음 법칙이 성립한다.

  1. 어쩌구

  2. 저쩌구

곱셈 공식

  1. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

    \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

  2. \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)

  3. \((ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd\)

  4. \((x + a)(x + b)(x + c) = x^3 + (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x + abc\)

  5. \((ax + b)(cx + d)(ex + f) = acex^3 + (acf + ceb + ead)x^2 + (adf + cfb + ebd)x + bdf\)

  6. \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)

  7. \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

    \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

  8. \((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)

    \((a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3\)

  9. \((a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4\)

  10. black label p39 #3 문제

\[ \begin{aligned} (a+b+c)^3 &= (a+b+c)(a+b+c)^2 \\ &= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca +3ab+3bc+3ca) \\ &= a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a) \end{aligned} \]

  1. \((a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc -ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\)

  2. \((a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a) + abc\)

  3. \((a+b)(b+c)(c+a) = ab^2 + bc^2 + ca^2 + ( a^2b + b^2c + c^2a ) +abc +abc\)

  4. \((a-b)(b-c)(c-a) = ab^2 + bc^2 + ca^2 - ( a^2b + b^2c + c^2a ) +abc -abc\)

  5. \((a+b)(b+c)(c+a) +abc = (a+b+c)( ab +bc +ca )\)

  6. \((a+b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k)a^{n-k}b^k = \sum_{k=0}^n C(n,k)a^kb^{n-k}\)

  7. \((a + \dfrac{1}{b})(b + \dfrac{1}{a}) = ab + 2 + \dfrac{1}{ab}\)

  8. \(\dfrac{1}{ab} = \dfrac{1}{b-a}(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b})\ (where\ a \neq b)\)

  9. \(\dfrac{1}{abc} = \dfrac{1}{c-a}(\dfrac{1}{ab} - \dfrac{1}{bc})\ (where\ a \neq c)\)

곱셈 공식의 변형

  1. \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a+b) = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)

    \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a-b) = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)

  2. \((a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca)\)

    \(a^2 + b^2 + c^2 + (ab + bc + ca) = \dfrac{1}{2}((a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2)\)

  3. \((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)\)

    \(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = \dfrac{1}{2}((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2)\)

  4. \(a^n-b^n = (a-b)(\sum_{k=1}^n a^{n-k}b^{k-1}) = (a-b)(\sum_{k=1}^n a^{k-1}b^{n-k})\)

    \(a^n+b^n = (a+b)(\sum_{k=1}^n a^{n-k}b^{k-1}(-1)^{k-1}) = (a-b)(\sum_{k=1}^n a^{k-1}b^{n-k}(-1)^{n-k})\)

    \(x^n-1 = (x-1)(\sum_{k=1}^n x^{n-k})\)

    \(x^n + 1 = (x + 1)(\sum_{k=1}^n x^{n-k}(-1)^{k-1})\)

다항식의 나눗셈

Definition 7 (다항식의 나눗셈) 두 다항식 \(A, B (B \neq 0)\) 에 대하여 \(A÷B\) 는 \[ A=BQ+R\ (\text{where (R의차수) < (B의차수)}) \] 을 만족시키는 두 다항식 \(Q\) 와 \(R\) 를 구하는 것이다. 이 때 다항식 \(Q\) 를 몫, 다항식 \(R\) 를 나머지라 한다. 특히 \(R = 0\) 이면 \(A\) 는 \(B\) 로 나누어 떨어진다고 하고 \(A=BQ\) 를 만족시킨다.

나머지정리와 인수분해

Definition 8 (항등식)  

  • 등호(=)를 써서 두 수 또는 두 식이 같음을 나타낸 식을 등식이라 한다.

  • 문자의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 그 문자에 대한 방정식이라 한다.

  • 문자의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식을 그 문자에 대한 항등식이라 한다.

Definition 9 (미정(未定)계수) 값이 정해지지 않은 계수를 미정계수라 한다

Definition 10 (미정계수법)  

  • 수치대입법: 항등식의 문자에 적당한 값을 대입하여 미정계수를 구하는 방법

  • 계수비교법: 항등식의 양변에 있는 동류항의 계수를 비교하여 미정계수를 구하는 방법

나머지정리

Example 2 (나머지 구하기 Tip)  

  • \(50^{100}\) 을 2499로 나눈 나머지는 \(P(x) = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b\) 을 이용해 본다.

  • \(8^{10}\) 을 \(7\) 로 나눈 나머지, \(2^{100}\) 을 \(31\) 로 나눈 나머지 등은 \(P(x) = (x + 1)^n = xQ(x) + 1\) 을 이용해 본다.

  • \(2^{1111}\) 을 \(17\)로 나눈 나머지는 \(9\)

항등식

나머지정리와 인수정리

Theorem 3 (나머지정리) 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구할 때, 직접 나눗셈을 하지 않고 다음과 같이 항등식의 성질을 이용하여 구할 수 있다. 이때 이 성질을 나머지정리라고 한다.

  • 다항식 \(f(x)\) 를 일차식 \(x-a\) 로 나누었을 때의 나머지 \(R\) 는

  • \(R = f(a)\)

  • 다항식 \(f(x)\) 를 일차식 \(ax+b\) 로 나누었을 때의 나머지 \(R\) 는

  • \(R = f( -\dfrac{b}{a} )\)

Theorem 4 (Hakchin) \[ f(x) = A(x)B(x) + C(x) \Rightarrow Mod(f(x),A(x)) = Mod(C(x),A(x)) \]

Theorem 5 (인수정리) 다항식 \(f(x)\) 를 일차식 \(x-a\) 로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 \(f(a)\) 이다. 이때 나머지정리에 의해 다음과 같은 인수정리가 성립한다.

  1. \(f(x)\) 가 \(x - \alpha\) 로 나누어 떨어지면 \(f( \alpha ) = 0\) 이다.

  2. \(f( \alpha ) = 0\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x - \alpha\) 로 나누어 떨어진다.

인수분해

인수분해

복잡한 식의 인수분해

Function

함수의 뜻과 그래프

Definition 11 (Domain and Image) Let \(R\) be a relation from \(A\) to \(B\). The domain of the ralation \(R\), denoted by \(Dom(R)\), is the set of all those \(a \in A\) ; and the image of \(R\), denoted by \(Img(R)\), is the set of all those \(b \in B\) such that \(_aR_b\) for some \(a \in A\). In symbols, \[ Dom(R) = \{a \in A \mid \exists b \in B \text{, } (a,b) \in R\} \] and \[ Img(R) = \{b \in B \mid \exists a \in A \text{, } (a,b) \in R\} \]

Definition 12 (Function) Let \(X\) and \(Y\) be sets. A function from \(X\) to \(Y\) is a triple \((f,X,Y)\), where \(f\) is a relation from \(X\) to \(Y\) satisfying

  • \(Dom(f) = X\)
  • \((x,y) \in f \wedge (x,z) \in f \Rightarrow y = z\)

Definition 13 (Identical function) 두 함수 \(f\) 와 \(g\) 가 서로 같은 함수 (Symbolically) \(f = g \iff\)

  • \(Dom(f)=Dom(g)\)
  • \(Ran(f)=Ran(g)\)
  • \(\forall x \in Dom(f),\ f(x)=g(x)\)

Example 3 (서로 같은 함수) \[ Dom=\{0,1\},\ f(x)=x,\ g(x)=x^3 \]

Definition 14 (단사함수1) Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \[ f\ is\ injective\ \iff x_1 \neq x_2 \Rightarrow y_1 \neq y_2 \]

Definition 15 (전사함수2) Let \(f \colon X \to Y\) be a function. \[ f\ is\ surjective\ \iff Img(f) = Ran(f) \]

Definition 16 (단전사함수3 = 일대일대응) Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function.

\[ f: X ⤖ Y \iff f\ is\ injective\ and\ surjective \]

Definition 17 (항등함수) 정의역과 공역이 같은 함수 \(f\colon X \rightarrow Y\) 에서 \(f(x)=x\) 를 만족하는 함수

Definition 18 (상수함수) 함수 \(f\) 의 치역의 원소가 하나뿐인 함수 즉 \(f(x)=c\) 인 함수

Definition 19 (단조증가함수) \[ f \in \ddot{i} \iff x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2) \]

Definition 20 (강한증가함수) \[ f \in \ddot{I} \iff x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \]

Definition 21 (우함수) \[ \forall x \in X, f(-x) = f(x) \]

Definition 22 (기함수) \[ \forall x \in X, -f(-x) = f(x) \]

Definition 23 (\(x=a\) 에 대칭인 함수) \[ \forall x \in X, f(2a-x) = f(x) \] \[ \forall x \in X, f(a-x) = f(a+x) \]

Definition 24 (\(y=b\) 에 대칭인 도형) \[ \forall x \in X, 2b - f(x) = f(x) \] \[ \forall x \in X, -(f(x) - b) = f(x) - b \]

Definition 25 (점 \((a, b)\) 에 대칭인 함수) \[ \forall x \in X, 2b-f(2a-x) = f(x) \] \[ \forall x \in X, 2b = f(x) + f(2a-x) \] \[ \forall x \in X, 2b = f(a-x) + f(a+x) \]

Definition 26 (주기함수) 독립 변수의 값이 어떤 고정된 상수만큼 변하여도 그 함숫값이 일정한 구간안에서 반복되는 함수 즉, 모든 독립변수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+p)\) 를 만족하는 최초의 양수 \(p\) 를 주기로 하는 주기함수라 한다.

Remark (함수의 개수).

함수 \(\Pi(n,m)\)
단사 \(_n P_m\)
전사 \(S(m,n) \cdot_n P_n\)
전단사 \(_n P_n\)
증가 \(_n C_m\)
단조증가 \(_n H_m\)

Theorem 6 (함수의 개수) 함수의 개수는 다음과 같다.

  • Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \(n(X) = m,\ n(Y) = n\) 일 때, 함수 \(f\) 의 개수는

\[ _n \Pi_m = n^m \]

  • Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \(n(X) = m,\ n(Y) = n,\ m \leq n\) 일 때, 단사함수 \(f\) 의 개수는

\[ _n P_m = \dfrac{n!}{(n-m)!} \]

  • Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \(n(X) = m,\ n(Y) = n,\ m \geq n\) 일 때, 전사함수 \(f\) 의 개수는

\[ S(m,n) \cdot Per(n,n) \]

  • Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \(n(X) = m,\ n(Y) = n,\ m \geq n\) 일 때, 전사함수 \(f\) 의 개수는

\[ \text{전사함수의 개수} = \text{전체 함수의 개수} \]

\[ - (\text{치역의 원소의 개수가 1일 때 전사함수}) \times C(n,1) \] \[ - (\text{치역의 원소의 개수가 2일 때 전사함수}) \times C(n,2) \] \[ - (\text{치역의 원소의 개수가 3일 때 전사함수}) \times C(n,3) \] \[ - (\text{치역의 원소의 개수가 4일 때 전사함수}) \times C(n,4) \] \[ - (\text{치역의 원소의 개수가 n-1일 때 전사함수}) \times C(n,n-1) \] \[ = \Pi(n,m) \] \[ - \Pi(1,m) \times C(n,1) \] \[ - (\Pi(2,m) - C(2,1)) \times C(n,2) \] \[ - (\Pi(3,m) - ( C(3,1) + (\Pi(2,r)-C(2,1)) \times C(n,2))) \times C(n,3) \] \[ - \cdots \] \[ - (\text{치역이 n-1일 때 전사함수}) \times C(n,n-1) \]

  • Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \(n(X) = m,\ n(Y) = n,\ m = n\) 일 때, 전단사함수 \(f\) 의 개수는

\[ _n P_m = n! \]

  • Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \(n(X) = m,\ n(Y) = n\) 일 때, 강한증가함수 \(f\) 의 개수는

\[ _n C_m = \dfrac{P(n,m)}{m!} \]

  • Let \(f\colon X \rightarrow Y\) be a function. \(n(X) = m,\ n(Y) = n\) 일 때, 단조증가함수 \(f\) 의 개수는

\[ _n H_m = C((n-1+m),m) \]

Example 4 (전사함수개수1) 정의역은 \(X\), 공역은 \(Y\) , \(n(X)=5\), \(n(Y)=3\) 일 때 \(f\colon X \rightarrow Y\) 인 전사함수의 개수는

Solution. \[ S(5,3) \cdot Per(3,3) = 25 \cdot 3! = 150 \]

Solution. another solution ; \(n=3\), \(m=5\) 인 경우이므로, \[ \Pi(3,5) \] \[ - \Pi(1,5) \times C(3,1) \] \[ - (\Pi(2,5) - C(2,1)) \times C(3,2) \] \[ = 3^5 \] \[ - 1^5 \times 5 \] \[ - (2^5 -2) \times 3 \] \[ = 243 \] \[ - 5 \] \[ - 90 \] \[ = 150 \]

Example 5 (전사함수개수2) 정의역은 \(X\), 공역은 \(Y\) , \(n(X)=4\), \(n(Y)=3\) 일 때 \(f \colon X \ to Y\) 인 전사함수의 개수는

Solution. \[ S(4,3) \cdot Per(3,3) \] \[ = C(4,2) \cdot C(2,2) \cdot C(1,1) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3! \] \[ = 6 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3! \] \[ = 36 \]

Solution. \(n=3\) , \(m=4\) 인 경우이므로, \[ \Pi(3,4) \] \[ - \Pi(1,4) \times C(3,1) \] \[ - (\Pi(2,4) - C(2,1)) \times C(3,2) \] \[ = 3^4 \] \[- 1^4 \times 3 \] \[ - (2^4 -2) \times 3 \] \[ = 81 \] \[ - 3 \] \[ - 42 \] \[ = 36 \]

Example 6 정의역은 \(X\), 공역은 \(Y\) , \(n(X)=3\), \(n(Y)=4\) 일 때, \(f\colon X \rightarrow Y\) 인 강한증가함수의 개수는

Solution. \(n=4\), \(m=3\)인 경우이므로, \[ C(4,3) \] \[ = 4 \]

Example 7 정의역은 \(X\), 공역은 \(Y\) , \(n(X)=3\), \(n(Y)=4\) 일 때 \(f\colon X \rightarrow Y\) 인 단조증가함수의 개수는

Solution. \(n=4\) , \(m=3\) 인 경우이므로, \[ H(4,3) \] \[ = C(4-1+3,3) \] \[ = C(6,3) \] \[ = 20 \]

Exercise 1 \(X=\{1,2,3\}, Y=\{3,4,5,6,7\}\) 일 때, \(f\colon X \rightarrow Y\) 로의 함수 \(f\) 의 갯수는?

Solution.

  1. 간단히 풀면, \(_n\Pi_r\) 기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는 \(_5\Pi_3=5^3=125\)

  2. 조금 자세히 푼다면, 정의역 \(X=\{1,2,3\}\) 의 각 원소에 대하여, 1에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있고, 다시 2에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있으며, 또 다시 3에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있다. 이것으로 부터 모든 발생하는 경우의 수가 함수의 갯수이므로 \(5^3=125\) 가 구하고자 하는 답이다.

Exercise 2 \(X=\{1,2,3\}, Y=\{3,4,5,6,7\}\) 일 때, \(f\colon X \rightarrow Y\) 로의 함수 중 일대일 함수 \(f\) 의 갯수는?

Solution.

  1. 간단히 풀면, \(_nP_r\) 기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는 \(_5P_3=5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\)

  2. 조금 자세히 푼다면, 일대일 함수의 정의로 부터 서로 다른 두 원소에 대응하는 함수의 X에서 Y로의 대응은 서로 다른 원소(또는 함수값)이어야 하고 이로부터, 정의역 \(X=\{1,2,3\}\) 의 각 원소에 대하여, 예를 들어, 1에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있다면, 다시 2에 대응하는 Y의 원소는 4개의 경우가 있으며, 또 다시 3에 대응하는 Y의 원소는 3개의 경우가 있다. 이런 경우의 함수의 갯수는 \(_5P_3=5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\) 이며 이것이 구하고자 하는 답이다.

Exercise 3 \(X=\{a,b,c,d,e\}, Y=\{1,2,3\}\) 일 때, \(f\colon X \rightarrow Y\) 인 함수 중 치역과 공역이 같은 함수 \(f\) 의 갯수는?

Solution. 전체 함수의 갯수는

\[ \label{eq:fn:1} _3\Pi_5 = 3^5 = 243 \]

전체 함수의 갯수 [eq:fn:1] 에서 Y로의 함수 중에 Y의 원소 1개에 대응하는 함수들과 Y의 원소 2개에 대응하는 함수들을 빼 주어야 한다. 따라서,

\[ _3\Pi_5 - (1 \cdot 3 + (_2\Pi_5-2) \cdot 3) \] \[ \iff 243 - (3 + (32-2) \cdot 3) \] \[ \label{eq:fn:2} \iff 243 - (3 + 90) = 150 \] \[ \therefore \text{답은 150 (개)이다.} \]

Exercise 4 \(X=\{1,2,3\}, Y=\{3,4,5,6,7\}\) 일 때, \(f\colon X \rightarrow Y\) 인 함수 중 단조 증가 함수 \(f\) 의 갯수는? (즉, \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\) )

Solution.

  1. 간단히 풀면, \(_nC_r\) 기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는 \(_5C_3=\dfrac{5!}{2!3!}=10\)

  2. 조금 자세히 푼다면, 공역 \(Y=\{3,4,5,6,7\}\) 의 원소의 갯수는 5개이고 정의역 \(X=\{1,2,3\}\) 의 각 원소에 대하여, 즉 3개의 원소에 공역의 원소가 크기순으로 대응되어야 한다. 따라서 5개의 원소에서 3개를 고르는 경우이고 이 때 선택된 3개의 원소간의 순서에 따른 경우의 수가 3 \(\cdot 2 \cdot 1 = 6\) 이고 이 중에서 조건에 맞는 것은 1가지만 있으므로, 전체 만들어질 수 있는 함수의 갯수는 \(\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\) 이다.

Exercise 5 \(X=\{-1,0,1\}\) 일 때, \(f\colon X \rightarrow Y\) 인 함수 중 우함수의 갯수와 기함수의 갯수를 각각 구하여라.

Solution.

  1. 우함수 갯수 구하기 \(f(-x)=f(x)\)

\[ f(-1)=f(1)=-1 \Rightarrow (f(0)=-1 \vee f(0)=0 \vee f(0)=1) \text{ 즉, 3가지} \] \[ f(-1)=f(1)=0 \Rightarrow (f(0)=-1 \vee f(0)=0 \vee f(0)=1) \text{ 즉, 3가지} \] \[ f(-1)=f(1)=1 \Rightarrow (f(0)=-1 \vee f(0)=0 \vee f(0)=1) \text{ 즉, 3가지} \] \[ \therefore \text{9가지} \]

  1. 기함수 갯수 구하기 \(f(-x)=-f(x)\) \(f(-0)=-f(0) \iff f(0)=-f(0) \iff 2 \cdot f(0)=0\)

\[ \therefore f(0)=0 \] 한편, 기함수가 될 수 있는 조건을 만족하기 위하여, 아래의 경우가 있다. \[ f(-1) = 1 \wedge f(1)=-1 \text{ 즉, 1가지} \] \[ f(-1) = 0 \wedge f(1)=0 \text{ 즉, 1가지} \] \[ f(-1) = -1 \wedge f(1)=1 \text{ 즉, 1가지} \] \[ \therefore \text{3가지} \]

Exercise 6 함수 \(f(x)\) 가 아래로 볼록인 함수이면 서로 다른 세 독립변수 \(x_1, x_2, x_3\) 에 대하여 \[ f(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}) < \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{3} \] 임을 설명하여라.

Solution. 요 문제는 Jensen inequality 의 한 예이다. 일반적으로는 수학적 귀납법 또는 미적분을 이용하여 증명한다. 그러나 방법은 더 있을 수 있다.

Exercise 7 \(f(x)=5(x-1)^2(x-3)^2+2\) 라 할 때, \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x)=k\) 가 서로 다른 네 실근을 가질\(k\)값의 범위와 네 실근의 합을 각각 구하여라.

Solution. 어쩌구 저쩌구...

Exercise 8 함수 \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 이고 모든 실수에 대한 연속함수이다. \(f(x)+f(-x)=0\) 이고 \(f(-3)=2, f(-1)=-5\) 일 때, \(f(0)+f(1)+f(3)\) 의 값을 구하여라.

Solution. 주어진 조건 \(f(x)+f(-x)=0\) 으로 부터 \(f(x)=-f(-x)\) 이다. 따라서, \[ f(0)+f(1)+f(3) \] \[ = f(0)-f(-1)-f(-3) \] \[ = 0-(-5)-2 \] \[ = 3 \] \[ \therefore 3 \]

Exercise 9 함수 \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 이고 모든 실수에 대한 연속함수이다. \(f(x)+f(4-x)=6\) 이고 \(f(0)=-2\) 일 때, \(f(2)+f(4)\) 의 값을 구하여라.

Solution.

  1. 간단히 풀고자 한다면, 단순히 \(x\) 에 관련값을 대입하여 풀면 된다.

  2. 또는 함수의 대칭을 짚어가며 풀어보고자 한다면,

\[ f(x)+f(4-x)=6 \] \[ \iff f(4-x)=6-f(x) \] \[ \iff f(2 \cdot 2 -x)=2 \cdot 3 -f(x) \] \[ \text{따라서, } f(x) \text{는 (2,3)에 대칭인 함수이다. 즉, } f(2)=3 \] 한편, \[ \iff f(4-0)=6-f(0) \] \[ \iff f(4)=6-f(0) \] \[ =6-(-2) \] \[ =8 \] \[ \therefore f(2)+f(4)=3+8=11 \]

Exercise 10 \(f(x)=x^2(-1 \geq x \geq 1)\) 이고 \(f(x)=f(x+2)\) 일 때, \(f(1)+f(2)+ \cdots + f(100)\) 의 값을 구하여라.

Solution. \[ f(1)+f(2)+ \cdots + f(100) \] \[ = f(1)+f(-1)+f(1)+f(-1)+ \cdots + f(1)+f(-1) \] \[ = 50 \cdot (f(1)+f(-1)) \] \[ = 50 \cdot (1+1) = 100 \] \[ \therefore 100 \]

Exercise 11 함수 \(y=f(x)\) 가 \(f(x)=f(2-x)\), \(f(4-x)=f(4+x)\) 를 만족할 때, 함수 \(y=f(x)\) 는 주기가 \(p\) 인 주기함수이다. 이 때, 양수 p의 값을 구하여라.

Solution. \[ f(4-x)=f(4+x) \] \[ \iff f(4-(2-x))=f(4+x) \] \[ \iff f(x+2)=f(x+4) \] \[ x'=x+2 \text{라 하면 } f(x')=f(x'+2) \] \[ \therefore p=2 \]

Exercise 12 집합 \(X=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(Y=\{4,5,6,7,8,9,10,11\}\) 이고, \(f\colon X \rightarrow Y\) 이다. \(f(3)=7\) 일 때, \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\) 인 함수 \(f\) 의 갯수를 구하여라.

Solution. \(f(3)=7\) 로 고정되었으므로, \(\{1,2\} \rightarrow \{4,5,6\}\) 인 조건을 만족하는 함수의 갯수와 \(\{ 4,5,6,7 \} \rightarrow \{ 8,9,10,11 \}\) 인 조건을 만족하는 함수의 갯수를 구하여 더한다. 따라서,

  1. \(\{1,2\} \rightarrow \{4,5,6\}\) 에서 \(_3C_2 =_3C_1 = 3\)

  2. \(\{ 4,5,6,7 \} \rightarrow \{ 8,9,10,11 \}\) 에서 \(_4C_4 =_4C_0 = 1\)

\[ \therefore \text{4가지이다.} \]

Exercise 13 \(f(x)=f(x+2)\),\(g(x)=g(3-x)\)일 때,\(k(x)=f(x)+g(x)\)는 주기가 \(p\) 인 주기함수이다. 양수 p의 값을 구하여라.

Solution. \[ \label{eq:1} g(x+2)=g(3-(x+2))=g(1-x) \] 그리고, 어쩌구 저쩌구

합성함수와 역함수

Theorem 7 (역함수 성질)  

  1. \(h(x)=f^{-1}(x) \Rightarrow f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) \Rightarrow f(h(x)) = h(f(x))=x\)

  2. \(h(x)=(f \circ g)^{-1}(x) \Rightarrow (f \circ g)((f \circ g)^{-1}(x)) = (f \circ g)^{-1}((f \circ g)(x)) \Rightarrow (f \circ g)(h(x)) = h((f \circ g)(x))=x\)

Remark (알아두면 좋다). \(f\) 와 \(y=x\) 의 교점 \(\Rightarrow\) \(f\) 와 \(f^{-1}\) 의 교점 (그 역은 성립하지 않는다.)

Theorem 8 (\(f \circ f = I\)) \[ f(f(x)) = x \iff f(a)=b \rightarrow f(b)=a \]

Proof.

  1. \(f(a)=b\)

  2. \(f(b)=a\)

이 경우에 \(a<b \Rightarrow f(a)>f(b)\) 임을 알 수 있다.

Theorem 9 (\(f \circ f = f\)) \[ f \circ f = f \iff (a \neq b) \wedge ( f(a)=b \rightarrow f(b) = b ) \]

Proof.

  1. \(f(f(a))=b\)

  2. \(f(f(a))=f(a)\)

  3. \(f(b) = f(a)=b\)

Theorem 10 (\(f \circ f \circ f = I_X\)) \[ f \circ f \circ f = I_X \iff f(a)=b \rightarrow f(b) \neq a \]

Proof.

  1. \(f \circ f \circ f = f^{-1} \circ f = I_X\)

  2. 귀류법 : \(f(b)=a\) 라 가정

\[ f^{-1}(a) = b \Rightarrow f(f(a)) = b \Rightarrow f(b) = b \Rightarrow \bigotimes \]

Remark.

  1. \(( f \circ f = I ) \iff ( f(a)=b \rightarrow f(b) = a )\)
  2. \(( f \circ f = f ) \iff ( f(a)=b \rightarrow f(b) = b )\)
  3. \(( f \circ f \circ f = I ) \iff ( f(a)=b \rightarrow f(b) \neq a \wedge f(b) \neq b )\)

Footnotes

  1. injection, one-to-one, 일대일함수↩︎

  2. surjection, onto↩︎

  3. bijective, 일대일 대응↩︎