공통수학
다항식(Polynomial)
다항식의 연산
다항식의 덧셈과 뺄셈
Definition 1 (단항식)
수와 문자의 곱으로 이루어진 식을 단항식이라 한다.
단항식에서 특정 문자에 대하여 곱해진 문자의 개수를 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 부분을 계수라 한다.
Definition 2 (다항식)
한 개 이상의 단항식의 합으로 이루어진 식을 다항식이라 하고, 다항식을 이루고 있는 각각의 단항식을 항이라 한다.
다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수를 다항식의 차수라 한다.
특정 문자를 포함하지 않는 항을 상수항, 특정 문자에 대하여 차수가 같은 항을 동류항이라 한다.
Definition 3 (다항식에 대한 용어)
항: 다항식에 포함된 각각의 단항식
계수: 항에서 특정 문자를 제외한 나머지 부분
항의 차수: 항에서 특정 문자가 곱해진 개수
다항식의 차수: 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수
상수항: 문자없이 수만으로 이루어진 항
동류항: 문자와 차수가 같은 항
See Figure 1 for an illustration.
Definition 4 (다항식의정리)
내림차순: 특정 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것
오름차순: 특정 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것
Example 1 (다항식
x에 대하여 내림차순으로 정리
x에 대하여 오름차순으로 정리
Definition 5 (다항식의 덧셈과 뺄셈)
다항식의 덧셈: 두 다항식
에 대하여 는 동류항끼리 모은 후, 계수를 더하여 간단히 정리한 식이다.다항식의 뺄셈: 두 다항식
에 대하여 는 다항식 에 다항식 의 각 항의 부호를 바꾼 를 더한 식이다.
Remark (다항식의덧셈과뺄셈). 다항식의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같은 순서로 한다.
괄호가 있는 경우 괄호를 푼다.
한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
동류항끼리 모아서 계산한다.
Theorem 1 (다항식의 덧셈에 대한 성질) 세 다항식 A, B, C에 대하여
교환법칙: A+B=B+A
결합법칙:
괄호를 생략하여 로 나타내기도 한다.
다항식의 곱셈
Definition 6 (다항식의 곱셈) 두 다항식
Theorem 2 (지수 법칙)
어쩌구
저쩌구
곱셈 공식
black label p39 #3 문제
곱셈 공식의 변형
다항식의 나눗셈
Definition 7 (다항식의 나눗셈) 두 다항식
나머지정리와 인수분해
Definition 8 (항등식)
등호(=)를 써서 두 수 또는 두 식이 같음을 나타낸 식을 등식이라 한다.
문자의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 그 문자에 대한 방정식이라 한다.
문자의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식을 그 문자에 대한 항등식이라 한다.
Definition 9 (미정(未定)계수) 값이 정해지지 않은 계수를 미정계수라 한다
Definition 10 (미정계수법)
수치대입법: 항등식의 문자에 적당한 값을 대입하여 미정계수를 구하는 방법
계수비교법: 항등식의 양변에 있는 동류항의 계수를 비교하여 미정계수를 구하는 방법
나머지정리
Example 2 (나머지 구하기 Tip)
을 2499로 나눈 나머지는 을 이용해 본다. 을 로 나눈 나머지, 을 로 나눈 나머지 등은 을 이용해 본다. 을 로 나눈 나머지는
항등식
나머지정리와 인수정리
Theorem 3 (나머지정리) 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구할 때, 직접 나눗셈을 하지 않고 다음과 같이 항등식의 성질을 이용하여 구할 수 있다. 이때 이 성질을 나머지정리라고 한다.
다항식
를 일차식 로 나누었을 때의 나머지 는다항식
를 일차식 로 나누었을 때의 나머지 는
Theorem 4 (Hakchin)
Theorem 5 (인수정리) 다항식
가 로 나누어 떨어지면 이다. 이면 는 로 나누어 떨어진다.
인수분해
인수분해
복잡한 식의 인수분해
Function
함수의 뜻과 그래프
Definition 11 (Domain and Image) Let
Definition 12 (Function) Let
Definition 13 (Identical function) 두 함수
Example 3 (서로 같은 함수)
Definition 14 (단사함수1) Let
Definition 15 (전사함수2) Let
Definition 16 (단전사함수3 = 일대일대응) Let
Definition 17 (항등함수) 정의역과 공역이 같은 함수
Definition 18 (상수함수) 함수
Definition 19 (단조증가함수)
Definition 20 (강한증가함수)
Definition 21 (우함수)
Definition 22 (기함수)
Definition 23 (
Definition 24 (
Definition 25 (점
Definition 26 (주기함수) 독립 변수의 값이 어떤 고정된 상수만큼 변하여도 그 함숫값이 일정한 구간안에서 반복되는 함수 즉, 모든 독립변수
Remark (함수의 개수).
함수 | |
---|---|
단사 | |
전사 | |
전단사 | |
증가 | |
단조증가 |
Theorem 6 (함수의 개수) 함수의 개수는 다음과 같다.
- Let
be a function. 일 때, 함수 의 개수는
- Let
be a function. 일 때, 단사함수 의 개수는
- Let
be a function. 일 때, 전사함수 의 개수는
- Let
be a function. 일 때, 전사함수 의 개수는
- Let
be a function. 일 때, 전단사함수 의 개수는
- Let
be a function. 일 때, 강한증가함수 의 개수는
- Let
be a function. 일 때, 단조증가함수 의 개수는
Example 4 (전사함수개수1) 정의역은
Solution.
Solution. another solution ;
Example 5 (전사함수개수2) 정의역은
Solution.
Solution.
Example 6 정의역은
Solution.
Example 7 정의역은
Solution.
Exercise 1
Solution.
간단히 풀면,
기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는조금 자세히 푼다면, 정의역
의 각 원소에 대하여, 1에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있고, 다시 2에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있으며, 또 다시 3에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있다. 이것으로 부터 모든 발생하는 경우의 수가 함수의 갯수이므로 가 구하고자 하는 답이다.
Exercise 2
Solution.
간단히 풀면,
기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는조금 자세히 푼다면, 일대일 함수의 정의로 부터 서로 다른 두 원소에 대응하는 함수의 X에서 Y로의 대응은 서로 다른 원소(또는 함수값)이어야 하고 이로부터, 정의역
의 각 원소에 대하여, 예를 들어, 1에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있다면, 다시 2에 대응하는 Y의 원소는 4개의 경우가 있으며, 또 다시 3에 대응하는 Y의 원소는 3개의 경우가 있다. 이런 경우의 함수의 갯수는 이며 이것이 구하고자 하는 답이다.
Exercise 3
Solution. 전체 함수의 갯수는
전체 함수의 갯수 [eq:fn:1] 에서 Y로의 함수 중에 Y의 원소 1개에 대응하는 함수들과 Y의 원소 2개에 대응하는 함수들을 빼 주어야 한다. 따라서,
Exercise 4
Solution.
간단히 풀면,
기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는조금 자세히 푼다면, 공역
의 원소의 갯수는 5개이고 정의역 의 각 원소에 대하여, 즉 3개의 원소에 공역의 원소가 크기순으로 대응되어야 한다. 따라서 5개의 원소에서 3개를 고르는 경우이고 이 때 선택된 3개의 원소간의 순서에 따른 경우의 수가 3 이고 이 중에서 조건에 맞는 것은 1가지만 있으므로, 전체 만들어질 수 있는 함수의 갯수는 이다.
Exercise 5
Solution.
- 우함수 갯수 구하기
- 기함수 갯수 구하기
Exercise 6 함수
Solution. 요 문제는 Jensen inequality 의 한 예이다. 일반적으로는 수학적 귀납법 또는 미적분을 이용하여 증명한다. 그러나 방법은 더 있을 수 있다.
Exercise 7
Solution. 어쩌구 저쩌구...
Exercise 8 함수
Solution. 주어진 조건
Exercise 9 함수
Solution.
간단히 풀고자 한다면, 단순히
에 관련값을 대입하여 풀면 된다.또는 함수의 대칭을 짚어가며 풀어보고자 한다면,
Exercise 10
Solution.
Exercise 11 함수
Solution.
Exercise 12 집합
Solution.
에서 에서
Exercise 13
Solution.
합성함수와 역함수
Theorem 7 (역함수 성질)
Remark (알아두면 좋다).
Theorem 8 (
Proof.
이 경우에
Theorem 9 (
Proof.
Theorem 10 (
Proof.
귀류법 :
라 가정
Remark.