8/2(2+2)=16 or 8/2(2+2)=1

Miscellaneous

Mathematics
사칙연산
Order
of
Operations
Author

별을셀

Published

2021-04-22

비슷한 문제들이 좀 있는 것 같다. (48/2(9+3) 등)
대부분은 답이 “16” 이라고 한다. 어찌되었건 별을셀이 제시하는 답은 “1” 이다.
공학 계산기들도 결과값은 엇갈린다. 참고로 네이버나 구글 제공 계산기는 16을 답으로 제시하고 있다.
다음과 같이 전개해 본다.

다음을 전제로 한다.
(수학적으로는 식이라는 것을 정의하지 않았기 때문에 모호성을 띠지만 규칙 정도로 이름 붙이겠다.)

  1. 병치(juxtaposition) 상황에서는 병치의 주위에 괄호가 둘러쌓인 식으로 전환한다.
  2. 괄호식은 문자처럼 다룬다.
  3. 사칙연산식은 숫자만으로, 문자만으로, 숫자와 문자 혼용으로 사용할 수 있다.
  4. 문자 바로 뒤에 숫자를 병치하지 않는다.
  5. 1,2,3,4의 전제하에 BODMAS의 연산순서를 지킨다. (병치를 강조한다면 JBODMAS)
8÷2(2+2)
=8÷(2×(2+2)) After J Juxtaposition (병치우선)
=8÷(2×4) After B Bracket (괄호적용과 더하기)
=8÷8 After B Bracket (괄호적용과 곱하기)
=1 After D Division (나누기적용)

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B Brackets (parts of a calculation inside brackets always come first).

O Orders (numbers involving powers or square roots)

또는 O Of (Juxtaposition) (Minor 한 사용, 그러나 위의 대세에 따르기로 함)

D Division.

M Multiplication.

A Addition.

S Subtraction.

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BODMAS 외에 유사하게 BIDMAS, BEDMAS, PEDMAS, PEMDAS 등의 유사 약어가 사용되는데 마찬가지 뜻이라 보면 된다. 그리고 나눗셈과 곱셈의 연산 순서는 실수계의 사칙연산에서 순서에 관계없이 같은 값을 가지게 된다.

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O의 경우 대부분의 경우에 Order의 약자로 소개되거나 또는 pOwer의 약자로 소개된다. 드물게 Of의 약자로 소개되기도 한다. O를 Of의 약자로 사용해 온 이유는 병치연산(Juxtaposition)을 강조하기 위함이고 별을셀은 O를 Of의 약자로 사용하였으나 대중성을 위하여 이제부터 Order의 약자로 사용하기로 한다.

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2021년 4월 시점 뇌피셜로 볼 때 절대 다수는 8÷2(2+2)=16 이 옳은 답으로 선택하며, 그 다음으로는 아마 수식이 성립하지 않는다는 것이고, 마지막으로 가장 소수의 답안이 8÷2(2+2)=1이다. 각각이 나름의 논리를 가지고 있다. 일단 수식은 성립한다고 가정한다.

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8÷2(2+2)=16 이냐 아니면 8÷2(2+2)=1 이냐의 쟁점은 병치연산(Juxtapositioin)의 우선순위 여부에 있다.

그 이유는 약간만 서술하고 지금 본인이 바쁜 관계로 조금 시간이 날 때 더 추가하기로 한다. (약속은 아니다.)

병치무시 : a/bc=(a/b)*c -> 6/2x=(6/2)*x=3x -> 8/2(2+2)=16
병치우선 : a/bc=a/(bc) -> 6/2x=6/(2*x)=3/x -> 8/2(2+2)=1
병치우선은 우리나라 교육과정이다. 예전 교재에는 Example이 존재하나 최근 교재는 확인해 보지 못하였다.

병치연산 관련 여기서 23을 “육”이라 하지 않고 “이십삼”이라 함은 연속된 숫자는 암묵적으로 곱셈의 생략이 아니라 완성된 하나의 숫자로 보기 때문이다. 아라비아 숫자의 연속을 숫자간의 곱으로 판단하는 이익보다 연속된 숫자를 하나로 보는 이익이 훨씬 크다는 이유가 작용한 것이다.

어찌되었든 숫자와 숫자가 구분되면 숫자의 병치연산은 가능하지만 하나 하나의 인쇄 숫자가 구분될 수 없을 때는 연속된 숫자는 합쳐서 하나의 숫자로 인식하게 된다.

반면에, ab를 하나의 문자변수 또는 문자상수로 보지 않는 것은 ab는 a와 b의 곱셈을 짧게 표현한 것으로 약속하고 이에 대한 혼돈이 발생하지 않기 때문이다. 비유하자면 문자를 사용하여 프로그래밍에서의 unit화(modularization)를 식에서도 가능하게 하는 것이다.

의도를 가지고 명시적으로 식을 정의할 때는 다르게 사용할 수 있다. 이런 것들을 수학적으로 잘 정의해 놓으면 좋겠지만 돈도 안 되고, 쉽지 않으며 귀찮기도 어렵기도 한 작업임에도 명예도 주어지지 않기에 그냥 관례로 사용하게 된다.

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교과서에 있는 것들을 세세히 적지 않았다. 특히 병치(Juxtapositioin)연산과 괄호의 사용에 대하여 강조하여 둔다.

현행 교과서(2015개정)의 내용만으로는 사칙연산 관련하여 모호한 점이 발생할 수도 있겠다 판단한다.

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혹시 궁금한 점은 댓글로 남겨주시기 바란다.